Astronomi

Kvicksilvers resonans med rotationsbana

Kvicksilvers resonans med rotationsbana


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

När bekräftades det att Merkurius har en 3: 2-rotationsbana-resonans och av vem (forskargrupp / radioobservationer ...)? Det första förslaget kom från Giuseppe Colombo 1965. Dess närhet till solen ställde några problem när det gäller att spika kvicksilvers bana och rotation, men vad gjorde det så småningom möjligt att mäta det? Fanns det ett genombrott eller utveckling av en teknik eller var det bara "stadig vetenskaplig utveckling"?


Den första exakta bestämningen av rotationsperioden och den första antydan att rotationsperioden var annorlunda än omloppsperioden (som ursprungligen förväntat) var 1965 från 430 MHz radarekmätningar från det nu kollapsade Arecibo Observatory (RIP) i Puerto Rico. Dessa rapporterades i en mycket kort uppsats (1/2 sida) Natur av Pettengill och Dyce 1965. Detta följdes av ett något längre papper av Peale and Gold (Peale and Gold, 1965, Nature) som ger det teoretiska sammanhanget som säger (efter att ha diskuterat tidvattenfriktion som förväntas av solen på kvicksilver):

För en planet på en cirkulär bana skulle det slutliga tillståndet då vara en synkron rotation som månens rörelse i förhållande till jorden. Kvicksilvers rörelse runt solen tar 88 dagar och för synkron rotation skulle sideperioden således också vara 88 dagar. Det observerade värdet på 59 ± 5 dagar skiljer sig markant från detta (se föregående meddelande).

(deföregående kommunikationär radarmätningen av Pettengill och Dyce)

Som OP säger, verkar det senare november 1965 av Giuseppe Colombo Naturpapper vara det första som höjer möjligheten att rotationsperioden är 2/3 av omloppsperioden och därför ligger den i en 3: 2-rotationsbana-resonans:

I ett nyligen meddelande av SJ Peale och T. Gold var kvicksilvers rotationsperiod, bestämd från radar-dopplerspridningsmätningar till 59 +/- 5 dagar ... klipp ... En mycket nästan enhetlig rotationsrörelse på 58,65 sidodagsperiod, det vill säga 2/3 av omloppsperioden kan verkligen vara en stabil periodisk lösning.

Detta bekräftas av 1967 års tidning av Dyce, Pettengill & Shapiro 1967AJ ... 72.351 (fri att se) som diskuterar bestämningen av rotationsperioderna för både Venus och Mercury via radar och diskuterar vad som ledde till vilseledande tidigare optiska resultat för rotation period på 88 dagar. Det står också (sidan 358):

Faktum är att Colombo (1965) påpekade möjligheten att Mercurys rotationsperiod kan vara 58,65 dagar, dvs. exakt två tredjedelar av sin rotationsperiod. Detta värde av rotationsperioden skulle uppenbarligen göra Merkurius unik i solsystemet genom att ha sin axiella rörelse låst till sin omloppsrörelse på ett sådant sätt.


Merkuriusbana

Kvicksilvers högre hastighet när det är nära periheliet är tydligt från det större avståndet det täcker i varje 5-dagarsintervall.

Detta varierande avstånd till solen, i kombination med en 3: 2-rotations-resonans på planetens rotation runt dess axel, resulterar i komplexa variationer i yttemperaturen. Denna resonans gör att en enda dag på kvicksilver håller exakt två kvicksilverår, eller cirka 176 jorddagar.

Kvicksilver & # 8217: s omlopp lutar med 7 grader till planet för jordens bana (ekliptiken), som visas i diagrammet till höger. Som ett resultat kan överföringar av kvicksilver över solens yta endast inträffa när planeten korsar ekliptikplanet vid den tidpunkt det ligger mellan jorden och solen. Detta sker ungefär vart sjätte år i genomsnitt.

Kvicksilvers axiella lutning är nästan noll, med det bästa uppmätta värdet så lågt som 0,027 grader. Detta är betydligt mindre än Jupiter, som har den näst minsta axiella lutningen av alla planeter vid 3,1 grader. Det betyder att för en observatör på Mercury-polerna stiger Solens centrum aldrig mer än 2,1 bågminuter över horisonten.

Vid vissa punkter på Kvicksilvers ytaskulle en observatör kunna se solen stiga ungefär halvvägs, sedan vända och gå ned innan den stiger igen, allt inom samma Mercurian-dag. Detta beror på att kvicksilverens vinkelhastighet är lika med dess vinkelrotationshastighet ungefär fyra jorddagar före periheliet, så att solens uppenbara rörelse upphör närmare periheliet, kvicksilverns vinkelhastighet överstiger sedan vinkelns rotationshastighet. Således verkar solen för en hypotetisk observatör av Merkurius röra sig i en retrograd riktning. Fyra jorddagar efter perihelion återupptas solens normala uppenbara rörelse.

Av samma anledning finns det två punkter på kvicksilverens ekvatorn, 180 grader ifrån varandra i längdled, varvid var och en av dem, runt perihelion i alternativa Mercurian år (en gång en Mercurian dag), solen passerar över huvudet, sedan vänder sin uppenbara rörelse och passerar över huvudet igen, vänder sedan en andra gång och passerar över huvudet en tredje gång och tar totalt cirka 16 jorddagar för hela denna process. Under de andra alternerande Mercurian-åren händer samma sak vid den andra av dessa två punkter. Amplituden för den retrograda rörelsen är liten, så den övergripande effekten är att solen, i två eller tre veckor, är nästan stillastående och är på sitt mest lysande eftersom Merkurius befinner sig i perihelion, närmast solen. Denna långvariga exponering för solen när den är ljusast gör dessa två punkter till de hetaste platserna på kvicksilver. Omvänt finns det två andra punkter på ekvatorn, 90 graders längd bortsett från de första, där solen bara passerar över huvudet när planeten befinner sig i aphelion under andra år, när solens uppenbara rörelse i kvicksilverhimlen är relativt snabb.

Kvicksilver uppnår sämre konjunktion (närmaste tillvägagångssätt till jorden) var 116: e jorddag i genomsnitt, men detta intervall kan sträcka sig från 105 dagar till 129 dagar på grund av planetens excentriska omloppsbana. Kvicksilver kan komma så nära 82,2 Gm till jorden, och det sjunker långsamt: Nästa tillvägagångssätt inom 82,1 Gm är 2679 och inom 82 Gm 4487, men det kommer inte närmare jorden än 80 Gm förrän 28622 AD . Dess period av retrograd rörelse sett från jorden kan variera från 8 till 15 dagar på vardera sidan av sämre konjunktion. Detta stora utbud härrör från planetens höga orbital excentricitet.

Longitudkonvention

Längdegradskonventionen för kvicksilver sätter längden på noll vid en av de två hetaste punkterna på ytan, som beskrivs ovan. Men när detta område först besökte, av Mariner 10, var denna nollmeridian i mörker, så det var omöjligt att välja en funktion på ytan för att definiera meridianens exakta position. Därför valdes en liten krater längre västerut, kallad Hun Kal, som ger den exakta referenspunkten för mätning av longitud. Mitt i Hun Kal definierar 20 ° västra meridianen. En resolution från den internationella astronomiska unionen från 1970 antyder att longituder mäts positivt i västlig riktning på kvicksilver. De två hetaste platserna på ekvatorn ligger därför vid longitud 0 ° W och 180 ° W, och de kallaste punkterna på ekvatorn ligger vid longitud 90 ° W och 270 ° W. Men den BUDBÄRARE projektet använder en östpositiv konvention.

Under många år trodde man att Merkurius var synkront tidvis låst med solen, roterade en gång för varje bana och alltid höll samma ansikte riktat mot solen, på samma sätt som samma sida av månen alltid vetter mot jorden. Radarobservationer 1965 bevisade att planeten har en 3: 2-spin-omloppsresonans, som roterar tre gånger för vartannat varv runt solen. Excentriciteten hos kvicksilverens omlopp gör denna resonans stabil - vid perihelion, när solvattnet är starkast, solen är nästan fortfarande i kvicksilverhimlen.

Den ursprungliga anledningen till att astronomer trodde att den var synkront låst var att närhelst Merkurius var bäst placerad för observation, var den alltid nästan vid samma punkt i sin 3: 2-resonans och visade därmed samma ansikte. Detta beror på att kvicksilverens rotationsperiod är nästan exakt hälften av sin synodiska period med avseende på jorden. På grund av Mercury & # 8217s 3: 2 spin-orbit resonance, varar en soldag (längden mellan två meridianpassager av solen) cirka 176 jorddagar. En sidodag (rotationsperioden) varar cirka 58,7 jorddagar.

Simuleringar tyder på att Merkurius orbital excentricitet varierar kaotiskt från nästan noll (cirkulär) till mer än 0,45 över miljoner år på grund av störningar från de andra planeterna. Detta tros förklara Mercury & # 8217: s 3: 2 spin-omloppsresonans (snarare än den vanligaste 1: 1), eftersom detta tillstånd är mer sannolikt att uppstå under en period med hög excentricitet. Numeriska simuleringar visar att en framtida sekulär omloppsresonant perihelion-interaktion med Jupiter kan orsaka excentriciteten i kvicksilverens bana att öka till den punkt där det finns en 1% chans att planeten kan kollidera med Venus inom de närmaste fem miljarder åren.


Åtkomstalternativ

Få full journalåtkomst i 1 år

Alla priser är nettopriser.
Moms tillkommer senare i kassan.
Skatteberäkningen kommer att slutföras under utcheckningen.

Få tidsbegränsad eller fullständig artikelåtkomst på ReadCube.

Alla priser är nettopriser.


  • 75% av Mercury-radien!
  • Innehåller

  • Collider var mindre än kvicksilver
  • Påverkan blåste av det mesta av Mercurius mantel.
  • Omformad planet hade en enorm järnkärna kvar.
  • Svag dynamo: flytande rörelser i en halvsmält kärna genererar ett magnetfält.
  • Smält kärna avslöjas av vacklande i Merkurius rotation som är större än om kärnan var fast.
  • Kärnan är fortfarande smält eftersom den är rik på svavel, vilket sänker smältpunkten jämfört med en ren järnkärna.

Atmosfär och temperatur:

Kvicksilver är för varmt och för litet för att behålla en atmosfär. Den har dock en svag och variabel exosfär som består av väte, helium, syre, natrium, kalcium, kalium och vattenånga, med en kombinerad trycknivå på cirka 10-14 bar (en kvadrillion av jordens atmosfär tryck). Man tror att denna exosfär bildades av partiklar som fångats upp från solen, vulkanutgaser och skräp som sparkats i omlopp av mikrometeoritstöt.

Eftersom det saknar en livskraftig atmosfär har kvicksilver inget sätt att behålla värmen från solen. Som ett resultat av detta och dess höga excentricitet upplever planeten betydande temperaturvariationer. Medan sidan som vetter mot solen kan nå temperaturer på upp till 700 K (427 ° C), medan sidan i skugga sjunker ner till 100 K (-173 ° C).

Trots dessa höga temperaturer har förekomsten av vattenis och till och med organiska molekyler bekräftats på kvicksilvers yta. Golven i djupa kratrar vid polerna utsätts aldrig för direkt solljus, och temperaturerna där förblir under planetens genomsnitt.

Dessa isiga områden antas innehålla ca 10 14–10 15 kg fryst vatten och kan täckas av ett lager av regolit som hämmar sublimering. Isens ursprung på kvicksilver är ännu inte känt, men de två mest troliga källorna är från utgasning av vatten från planetens inre eller deponering av kometerna.

Bilder av Merkurius nordpol, tillhandahållen av MESSENGER. Rött indikerar skuggade områden medan gult indikerar närvaron av is. Upphovsman: NASA / JPL

Mercury & # 8217s Tidally Locked Orbit

Kvicksilver och tidvis låst bana är ett bra exempel på hur universum alltid ger astronomer några överraskningar.

Planeten är tidvatten (eller gravitationsmässigt) låst för vår sol, men det här är inte den typiska & # 8220synkrona & # 8221 tidvattenlåsning med ett förhållande 1: 1 av rotation och omlopp, som månen och jorden, med samma ansikte alltid presenterat till den större partnern. Kvicksilver är inlåst i en vad som är känd som en 3: 2-rotationsbana-resonans, vilket är unikt i vårt solsystem.

Saken med universum är att saker ser annorlunda ut från olika platser. Även om kvicksilverens omloppsperiod är cirka 88 jorddagar, verkar den från jorden röra sig runt sin omloppsbana på cirka 116 dagar (eftersom vi också rör oss).

Med Mercury & # 8217s 3: 2-resonans roterar den exakt tre gånger för varannan varv som planeten gör runt solen. Men solen vänder också. Från solens referensram verkar kvicksilver bara rotera en gång vartannat Mercurian-år. Så de små gula männen som bor i grottorna där måste vänta två år på att se en enda dag gå förbi, eller cirka 176 jorddagar. Födelsedagar måste vara komplicerade!

Så hur fick astronomer tanken att Merkurius var synkront låst för solen? Detta berodde på att när kvicksilver var bäst placerad för observation så var det nästan alltid i någon punkt i sin freaky 3: 2 orbitalresonans, så var det att visa samma ansikte för observatörer på jorden. Eftersom kvicksilverrotation (58,7 jorddagar) av en slump är nästan exakt hälften av sin omloppstid som observerats från jorden (116 dagar). Det var inte förrän radarobservationerna på planeten 1965 som astronomer lärde sig sanningen om dess orbitala upptåg.

Termiska underkläder ett måste på kvicksilver

Kvicksilver har praktiskt taget ingen atmosfär och är överlämnad av solen. Dess yttemperatur kan stiga på ekvatorn till 427C (800F) under dagen och sjunka till -173C (-280F) på natten, medan polerna är lite mer stabila vid cirka -93C (-136F). Även om planeten har en liten lutning, har den den högsta orbitalcentriciteten av alla solsystemets planeter, dess omloppsavstånd från närmaste (perihel) till längst från solen (aphelion) varierar så mycket som 1,5 gånger.

Liksom vår egen måne är kvicksilverytan kraftigt kraterad, vilket indikerar att planeten har varit geologiskt inaktiv i miljarder år.

Min roman, The Tau Ceti Diversion, är en berättelse om vår sökning efter nya planeter att kolonisera utanför vårt solsystem. Mycket av åtgärden äger rum på planeten tidigt låst till Tau Ceti som har några ganska unika egenskaper. Romanen kommer att lanseras den 1 september 2016 och förbeställning är nu tillgänglig på Amazon! Läs mer om vad som händer i berättelsen här!


  • 75% av Mercury-radien!
  • Innehåller

  • Collider var mindre än kvicksilver
  • Påverkan blåste av det mesta av Mercurius mantel.
  • Omformad planet hade en enorm järnkärna kvar.
  • Svag dynamo: flytande rörelser i en halvsmält kärna genererar ett magnetfält.
  • Smält kärna avslöjas av vacklande i Merkurius rotation som är större än om kärnan var fast.
  • Kärnan är fortfarande smält eftersom den är rik på svavel, vilket sänker smältpunkten jämfört med en ren järnkärna.

Spin-bana koppling

Naturligtvis verkar ett lika och motsatt vridmoment på månen.

Eulers ekvation för månens snurrrörelse har formen (se avsnitt 8.6)

där,, är den associerade vinkelhastighetsvektorn. Antag att månen faktiskt snurrar runt -axeln (dvs. huvudrotationsaxeln med det största associerade tröghetsmomentet), och att denna axel riktas normalt mot månens omloppsplan (som antas vara fixerad). Det följer att

var är planetens relativa vinkel i planet. (Se figur 8.7.) Vi kan skriva, var är vinkeln nedsänkt mellan -axeln (säg) och någon fast (med avseende på avlägsna stjärnor) riktning i - -planet. Låt denna riktning vara parallell med huvudaxeln för månens omlopp, där är pericentret (dvs. punkten närmast månens närmande till planeten). I detta fall framgår det av figur 8.7 att

var är månens orbital sanna anomali. (Se kapitel 4.) Därför ger ekvationer (8.152), (8.155), (8.156) och (8.157)

där användning har gjorts av det standard Keplerian-resultatet (förutsatt att månens massa är mycket mindre än planetens). (Se kapitel 4.) Här, och är månens huvudradie respektive medelvinkelhastighet.

Om vi ​​antar att excentriciteten,, av månens omlopp är låg - så att - det följer av ekvationer (4.86) och (4.87), liksom de trigonometriska ojämlikheter som anges i avsnitt A.3, att

var är månens genomsnittliga anomali. Anteckna det . Därför ger ekvation (8.159)

där några villkor har försummats. Här har återigen använts de trigonometriska identiteterna i avsnitt A.3.

Antag att månen passerar genom sitt centrum vid tidpunkten, så att

I det här fallet blir den tidigare ekvationen

där den så kallade asphericitetsparametern,

är ett mått på månens avvikelse från sfärisk symmetri, och

Figur: Ytan på sektionsdiagrammet för lösningar av ekvation (8.166) med och. De viktigaste resonanserna med spin-orbit är märkta.

Ekvation (8.166) är mycket olinjär till sin natur. Följaktligen har den ingen allmän analytisk lösning. Lyckligtvis är (8.166) relativt enkelt att lösa numeriskt. I själva verket kan lösningen representeras som en bana i,, rymden. Eftersom ekvation (8.166) är deterministisk kan en bana som motsvarar en unik uppsättning initiala förhållanden inte korsa en andra bana som motsvarar en annan uppsättning initiala villkor. Tyvärr är det svårt att visualisera en bana i tre dimensioner. Vi kan dock lindra detta problem genom att bara plotta de punkter där banan genomborrar en uppsättning plan med jämnt mellanrum som är normala mot axeln. Dessa plan ligger vid, där är ett heltal. Denna procedur motsvarar att projicera banan på planet varje gång månen passerar genom sitt centrum. Den resulterande tomten är känd som en sektionsyta. Figur 8.8 visar sektionsytan för en uppsättning banor som motsvarar många olika initiala förhållanden. Alla banor beräknas från ekvation (8.166) med och. Det relativt lilla värdet som antagits för excentriciteten överensstämmer med vårt tidigare antagande att månens bana är nästan cirkulär. Å andra sidan innebär det relativt lilla värdet som antas för aspericitetsparametern att månen är nästan sfärisk. Det framgår av figur 8.8 att en bana som motsvarar en given uppsättning initiala förhållanden genererar en serie nära varandra placerade punkter som spårar ut en sluten kurva som går ungefär parallellt med -axeln. Det finns faktiskt två olika typer av kurvor. Majoriteten av kurvorna sträcker sig över alla värden på och representerar banor för vilka det inte finns någon speciell korrelation mellan månens snurr och orbitalrörelser. Emellertid sträcker sig ett relativt litet antal kurvor bara över ett begränsat värdeområde. Dessa kurvor representerar banor för vilka en resonansinteraktion mellan månens snurr och orbitalrörelser ger en stark korrelation mellan dessa två typer av rörelse. De exakta resonanserna motsvarar centrumen för de ögonformade strukturerna som kan ses i figur 8.8. De tre huvudsakliga spin-orbit-resonanserna som framgår av figuren är 1: 2, 1: 1 och 3: 2-resonanser. Här är a: resonans, där och är positiva heltal, sådan att gånger månens centrifugeringsperiod är lika med gånger dess omloppsperiod. Vid en sådan resonans pekar månens huvudsakliga rotationsaxlar i samma riktning vid varje centrum.

Tänk på: spin-orbit resonance. Det är bra att definiera

var . Här är minus vinkeln nedsänkt mellan månens axel och huvudaxeln för dess bana varje gång genom pericentret. Observera att vid sådana passager. I närheten av resonansen förväntar vi oss att vara en relativt långsamt varierande funktion av tiden. När det uttrycks i termer av ger avkastning (8.166)

Låt oss nu genomsnittlig höger sida av föregående ekvation över omloppsperioder och behandla den relativt långsamt varierande kvantiteten som en konstant. För 1: 1-resonansen, för vilken vi sitter kvar

Detta följer eftersom, när, medan alla andra medelvärden över snabbt varierande termer är noll till exempel. För 1: 2-resonansen, för vilken vi sitter kvar

Slutligen, för: resonans, för vilken vi sitter kvar med

Figur: Konturer av, för, inritad, utrymme för:,:, och: resonanser med rotationsbana. Konturerna beräknas med och.

Tänk på resonansen 1: 1. Multiplicera ekvation (8.171) med och integrera, vi får

där konstanten är relaterad till månens centrifugeringsenergi per massenhet. Nu, . Vidare vid tidpunkterna för pericenterpassagen. Därför vid sådana tillfällen,

Liknande argument avslöjar det

Figur 8.9 visar konturer av ritade in, utrymme för:,:, och: spin-orbit resonanser. Dessa konturer beräknas från ekvationer (8.175) - (8.177) med och. Det kan ses att konturerna som visas i figur 8.9 är mycket lika ytan på sektionskurvor som visas i figur 8.8 åtminstone i närheten av resonanserna. Detta antyder att de analytiska uttrycken (8.175) - (8.177) kan användas för att effektivt kartlägga stängd yta på sektionskurvor i närheten av:,: och: spin-orbit-resonanser. Dessutom framgår det tydligt av dessa uttryck att lösningar på ekvation (8.166) effektivt fångas på sådana kurvor. Detta innebär att en lösning initialt nära (säg) a: resonans kommer att förbli nära denna resonans på obestämd tid.

För en given spinn-omloppsresonans finns en separatrix, som motsvarar konturen, som delar konturer som spänner över hela värdena från de som endast spänner över ett begränsat värden. (Se figur 8.9.) De tidigare konturerna kännetecknas av 1 $ ->, medan de senare kännetecknas av. När energintegralen,, reduceras till under det kritiska värdet, blir intervallet av tillåtna värden smalare och smalare. Så småningom, när det uppnår sitt minsta möjliga värde (dvs.), är det begränsat att ta ett fast värde. Denna situation motsvarar en exakt resonans med rotationsbana. För fallet med: resonans, motsvarar det minsta energitillståndet, och vilket innebär att månens axel vid den exakta resonansen pekar direkt mot (eller bort från) planeten vid tiden för pericenterpassagen. Eftersom vi tidigare antog att < cal I> _$ ->, vilket innebär att månen är mer långsträckt i -riktningen än i -riktningen, det följer att den långa axeln (i -planet) är riktad mot planeten varje gång månen passerar genom sitt centrum. I detta avseende liknar resonansen: resonansen. Men för en måne med en låg excentricitetsbana inlåst i en: rotationsbana-resonans, pekar alltid axeln i planetens allmänna närhet, även när månen är långt från sitt centrum. Detsamma gäller inte för en måne fångad i en: resonans. För fallet med: resonans, motsvarar det minsta energitillståndet och vilket innebär att månens axel vid den exakta resonansen pekar direkt mot (eller bort från) planeten vid tidpunkten för passage av centrum. Med andra ord är den korta axeln (i - planet) riktad mot planeten varje gång månen passerar genom sitt centrum.

Det framgår av ekvationer (8.175) - (8.177) att resonansbredderna (dvs. maximal utsträckning, i riktning, av den ögonliknande strukturen som omges av separatrix) av:,: och: spin-orbit-resonanser är respektive respektive. Så länge dessa bredder är betydligt mindre än mellanresonansavståndet (vilket är) förblir de tre resonanserna relativt brett separerade och skiljer sig således från varandra. Ett grovt kriterium för överlappningen av: och: resonanser är

Det bästa exemplet på en himmelkropp som fångats i en: resonans med rotationsbana är planeten Merkurius, vars centrifugeringsperiod är dagar och vars omloppstid är dagar (Yoder 1995). Observera att Mercurius axiella lutning (i förhållande till det normala mot dess banplan) är endast (Margot et al. 2007). Med andra ord roterar Merkurius effektivt runt en axel som är riktad normal mot sitt banplan, i enlighet med vårt tidigare antagande. Man tror att kvicksilver ursprungligen snurrade snabbare än för närvarande, men att dess centrifugeringshastighet gradvis minskades av solens tidvattensavrotningseffekt (se avsnitt 6.7) tills den föll i en: rotationsbana-resonans. Som vi har sett, upprätthålls en sådan resonans av det låsande vridmoment som solen utövar på kvicksilver på grund av den sistnämnda kroppens lilla permanenta sfäritet. Detta är emellertid endast möjligt eftersom låsmomentet nära resonansen överstiger vridmomentet.

Det bästa exemplet på en himmelkropp som fångats i en: resonans med snurr-omlopp är månen, vars snurr- och omloppsperiod är båda dagar. Månens axiella lutning (i förhållande till det normala mot dess omloppsplan) är. Med andra ord roterar månen kring en axel som är (nästan) normal mot sitt banplan, i enlighet med vårt tidigare antagande. Liksom kvicksilver tror man att månen ursprungligen snurrade snabbare än för närvarande, men att dess centrifugeringshastighet gradvis minskades genom tidvattensavrinning tills den föll i en: rotationsbana-resonans. Denna resonans upprätthålls av det låsande vridmomentet som utövas av jorden på månen på grund av den senare kroppens lilla permanenta asfäritet, snarare än av tidvatteneffekter, eftersom (när man tar hänsyn till månens omloppsbana) tidvatteneffekter ensamma faktiskt skulle orsaka månens centrifugeringshastighet överstiger dess genomsnittliga omloppsrotationshastighet med cirka procent (Murray och Dermott 1999).

Tänk på en måne vars centrifugeringstillstånd är nära en exakt: resonans med rotationsbana. Enligt den fullständiga (dvs icke-genomsnittliga) rörelseekvationen, ekvation (8.170),

där vi har antagit det (för att månen är nära den exakta resonansen), och också har försummat ordningsvillkoren med avseende på enhet. Den föregående ekvationen har standardlösningen

där och är godtyckliga. Detta uttryck är mer bekvämt skrivet

Från ekvationer (8.158), (8.161) och (8.169) har vi

Här är vinkeln nedsänkt mellan månens axel och linjen som förenar centrum av månen till planeten. (Se figur 8.7.) Enligt föregående ekvation, vibrerar denna vinkel (dvs oscillerar). Den första termen på höger sida av föregående uttryck beskriver så kallad optisk librering (i longitud). Detta är bara en perspektiveffekt på grund av excentriciteten i månens omlopp, det innebär inte någon oregelbundenhet i månens axiella centrifugeringshastighet. De sista två termerna beskriver så kallad fysisk librering (i longitud) och är förknippade med verkliga oegentligheter i månens snurrhastighet. För att vara mer exakt beskriver den första av dessa termer fri librering (i longitud), medan den andra beskriver tvingad librering (i longitud). Optisk librering orsakar en svängning under vars period matchar månens omloppsperiod, vars amplitud (i radianer) är, och vars fas är sådan att månen passerar genom sitt centrum. Tvångslibrering orsakar en liknande svängning med mycket mindre amplitud (förutsatt att). Fri librering å andra sidan orsakar en svängning i vars period är gånger månens omloppsperiod och vars amplitud och fas är godtyckliga.

Tänk på månen, vars centrifugeringstillstånd är nära en: spin-orbit-resonans. Enligt data från Lunar Prospector-sonden (Konopliv et al. 1998 Dickey et al. 1994),

Med tanke på att Månens omloppsperiod är dagar (dvs en siderisk månad) är den förutsagda fria libreringsperioden därför år. På grund av den förhållandevis snabba nedgången av Månens perigee (som fullbordar en full krets runt jorden vart 8,85 år - se kapitel 11) är den förväntade perioden för både optisk och forcerad librering (i longitud) dagar (dvs. en anomalistisk månad) ). Dessutom är de förutsagda amplituderna för dessa vibrationer [när de utvärderas upp till] respektive. Optisk librering (i longitud) har observerats i hundratals år och har verkligen de egenskaper som beskrivits tidigare. Dessutom, trots att den har en amplitud som är tusen gånger mindre än den för optisk librering, kan den tvingade libreringen (i longitud) av månen (på grund av månens omloppsbana) mätas med hjälp av lasersträckning. Den observerade perioden och amplituden är dagar respektive (Williams och Dickey 2003) och överensstämmer med föregående förutsägelser. Slutligen har en fri librering (i longitud) av månen under en period av år och en amplitud observerats via laseromfång (Jin och Li 1996). Perioden för denna librering överensstämmer alltså med vår analys. Observera att eftersom månens omlopp har betydande icke-keplerianska element, på grund av solens störande verkan, har månens tvingade vibration (i longitud) också viktiga icke-kepleriska element. (Se övning 9.) Dessutom har månen också fria och påtvingade sätt att vibrera i latitud. (Se avsnitt 8.12.)

Figur: Sektionens yta för olika lösningar av ekvation (8.166) med de Phobos-liknande parametrarna och.

Den tvingade libreringen av månen är en liten effekt på grund av månens relativt små avvikelser från sfäricitet. Det finns dock andra månar i solsystemet som är låsta i en: resonans med snurrbana (som månen) och vars avvikelser från sfäricitet är betydande. För sådana månar kan tvingad librering uppnå ganska stora amplituder. Ett utmärkt exempel är marsmånen Phobos. Formen på denna måne, som är mycket oregelbunden (se figur 3.2), har uppmätts till hög precision av Mars Express-sonden, vilket möjliggör beräkning av de relativa storheterna för dess huvudsakliga tröghetsmoment (under antagandet att månen är homogen ). Enligt denna beräkning (Wilner al 2010),

Eftersom den observerade excentriciteten hos Phobos bana är (Yoder 1995) är den förutspådda amplituden för dess tvingade fysiska librering. Den uppmätta amplituden är (Wilner et al. 2010). Observera att och värdena för Phobos uppfyller kriteriet för resonansöverlappning i ekvation (8.178). Figur 8.10 visar en yta av sektionsdiagrammet för Phobos. Det kan ses att resonansöverlappning leder till förstörelse av många av de stängda kurvorna som är en egenskap i figur 8.8. Ändå förblir vissa stängda kurvor intakta, särskilt i närheten av: spin-orbit-resonansen, det vill säga,, och. Följaktligen är det möjligt för Phobos att förbli nära ett: spin-orbit resonant-tillstånd under obestämd tid.

Figur: Sektionens yta för olika lösningar av ekvation (8.166) med Hyperion-liknande parametrar och.

Det mest extrema exemplet på koppling av snurrbanor i solsystemet förekommer i Hyperion, som är en liten måne av Saturnus. Hyperion har en mycket oregelbunden form, med en aspericitetsparameter på

(beräknat utifrån antagandet att Hyperion är homogent) och befinner sig i en ganska excentrisk omloppsbana

(Thomas et al. 1995). Därför uppfyller Hyperion lätt resonansöverlappningskriteriet i ekvation (8.178). Figur 8.11 visar en yta av sektionsdiagrammet för Hyperion. Det kan ses att resonansöverlappning leder till fullständig förstörelse av alla de stängda kurvorna associerade med: spin-orbit resonance. Detta verkar antyda att Hyperion inte kan förbli fast i en: resonans under någon märkbar tid. Figure 8.12 shows the time evolution of a solution of Equation (8.166), with Hyperion-like values of and , that starts off in an exact : spin-orbit resonance. If the solution were to stay close to the resonant state then the angle --and, hence, --would remain close to zero. It can be seen, from the figure, that this is not the case. In fact, quickly becomes of order unity, indicating a strong deviation from the resonant state. Moreover, --and, hence, itself--subsequently varies in a markedly irregular manner. The time variation of is in fact chaotic that is, it is quasi-random, never repeats itself, and exhibits extreme sensitivity to initial conditions (Strogatz 2001). This suggests that Hyperion is spinning in a chaotic manner. Data from the Voyager 2 probe seems to confirm that this is indeed the case (Black et al. 1995). (Note, however, that Hyperion's spinning motion involves large chaotic variations in its axial tilt that are not taken into account in our analysis.)


Anderson, J. D., Colombo, G., Esposito, P. B., Lau, E. L. and Trager, G. B.: 1987, 'The mass, gravity field and ephemeris of Mercury', Icarus 71, 337–349.

Balogh, A. and Giampieri, G.: 2002, 'Mercury: the planet and its orbit', Reports Prog. Phys. 65, 529–560.

Beletskii, V. V.: 1972, 'Resonance rotation of celestial bodies and Cassini's laws', Celestial Mech. 6, 359–378.

Bouquillon, S.: 2001, 'Mercury libration: first stage', Journées 2001, Syste`mes de Référence Spatio-Temporels (<nt>Ed.</nt> N. Capitaine), 135–140.

Brouwer, D. and Clemence, G. M.: 1961, Methods of Celestial Mechanics, Academic Press New York.

Burns, T. J.: 1979, 'On the rotation of Mercury', Celestial Mech. 19, 297–313.

Carpentier, G. and Roosbeek, F.: 2003, 'Analytical development of rigid Mercury nutation series', Celestial Mech. Dyn. Astr. 86, 223–236.

Colombo, G.: 1965, Nature 208, 575.

Chapront, J., Chapront-Touzé, M. and Francou, G.: 1999, 'Complements to Moons' lunar librationtheory', Celestial Mech. Dyn. Astr. 73, 317–328.

Deprit, A.: 1967, 'Free rotation of a rigid body studied in the phase plane', Am. J. Phs. 35 (5), 424–428.

Eckhardt, D. H.: 1981, 'Theory of the libration of the Moon', Moon Planets 25, 3–49.

ESA-SCI: 2000, 'BepiColombo, An Interdisciplinary Cornerstone Mission to the Planet Mercury', System and Technology Study Report.

Henrard, J and Schwanen, G.: 2004, 'Rotation of synchronous satellites: Application to the Gazillan, satellites, Celestial Mech. Dyn. Astr. 89, 181–200.

Kinoshita, H.: 1972, 'First-order perturbations of the two finite body problem', Publ. Astron. Soc. Jpn. 24, 423–457.

Migus, A.: 1980, 'Analytical lunar libration tables', Moon Planets 23, 391–427.

Moons, M.: 1982, 'Analytical theory of the libration of the Moon', Moon Planets 27, 257–284.

Moons, M.: 1984, 'Planetary perturbations on the libration of the Moon', Celestial Mech. 34, 263–273.

Peale, S. J.: 1969, 'Generalized Cassini's laws', Astron. J. 74(3), 483–489.

Peale, S. J.: 1972, 'Determination of parameters related to the interior of Mercury,' Icarus 17, 168–173.

Peale, S. J.: 1974, 'Possible histories of the obliquity of Mercury', Astron. J. 79(6), 722–744.

Rambaux, N. and Bois, E.: 2004, 'Theory of the Mercury's spin-orbit motion and analysis of its main librations', Astron. Astrophys., 413, 381–393.

Williams, J. G., Boggs, D. H., Yoder, Ch. F., Ratcliff, J. T. and Dickey, J. O.: 2001, 'Lunar Rotational dissipation in solid body and molten core.' J. Geophys. Res. 106(E11), 27933–27968.


Beletsky, V.V.: Essays on the Motion of Celestial Bodies. Birkhauser Verlag (2000)

Bills, B.G., Comstock, R.I.: Forced obliquity variations of Mercury. J. Geophys. Res. 110, E04006 (2005).

Correia A., Laskar J. (2004). Mercury’s capture into the 3:2 spin-orbit resonance as a result of its chaotic dynamics. Nature 429:848–850

Deprit A. (1967). Free rotation of a rigid body studied in the phase plane. Am. J. Phys. 35(5):424–428

D’Hoedt S., Lemaitre A. (2004a). The spin-orbit resonant rotation of Mercury: a two degree of freedom Hamiltonian model. Cel. Mech. 89:267–283

D’Hoedt, S., Lemaitre, A.: The spin-orbit resonance of Mercury: a Hamiltonian approach. In: Kurtz, DW (ed.) Proceedings of the International Astronomical Union 196, pp. 263–270. Preston, UK, 7–11 June 2004

D’Hoedt, S., Lemaitre, A., Rambaux, N.: 2006, Note on Mercury’s rotation: The four equilibria of the Hamiltonian model, Col. Mech and Dyn. Astr., submitted.

Henrard J., Lemaitre A. (2005). The untangling transformation. Astron. J. 130:2415–2417

Kaula W.M. (1996). Theory of Satellite Geodesy: Applications of Satellites to Geodesy. Blaisdell Publishing, NY

Meyer K.R., Hall G.R. (1992). Introduction to Hamiltonian Dynamical Systems and the N-Body Problem. Applied Mathematical Sciences, vol. 90. Springer-Verlag, Berlin

Murray C.D., Dermott S.F. (1999). Solar System Dynamics. Cambridge University Press, Cambridge

Peale S.J. (2005a). The free precession and libration of Mercury. Icarus 178:4–18

Peale S.J. (2005b). The proximity of Mercury’s spin to Cassini’s state 1 from adiabatic invariance. Icarus 181:338–347

Rambaux N., Bois E. (2004). Theory of the Mercury’s spin-orbit motion and analysis of its main librations. Astron. Astrophy. 413:381–393